CNC 2000 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2000, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices tridiagonales : factorisation LU, valeurs propres et polynômes orthogonaux de Tchebychev.

Lire le sujet 5 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,2 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• I - Première partie. Système linéaire à matrice tridiagonale A_n associé à -x_(k+1) + 2x_k - x_(k-1) = y_k. On prouve l'inversibilité, on explicite l'inverse et on résout le système pour un second membre particulier. Une relation trigonométrique fournit ensuite les n valeurs propres distinctes et des vecteurs propres en sin(k theta).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• II - Seconde partie. Pour une matrice tridiagonale générale, relation de récurrence entre les déterminants emboîtés, factorisation LU par pivot de Gauss en taille 4 et résolution de systèmes triangulaires. On montre ensuite que les matrices symétriques T_n(a, b, a) sont diagonalisables, à sous-espaces propres de dimension 1, et que T_n(a, b, c) a n valeurs propres réelles simples dès que les a_i c_i sont strictement positifs.
  À revoir : Déterminants, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• III - Troisième partie. Produit scalaire à poids sur les polynômes et famille orthonormale (P_n) : relation de récurrence à trois termes et k racines simples de P_k dans ]-1, 1[. Ces racines sont les valeurs propres d'une matrice tridiagonale. Le cas du poids 1/racine(1 - x^2) conduit aux polynômes de Tchebychev et au calcul explicite des éléments propres.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Intégration sur un intervalle quelconque, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Déterminants
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

Les autres épreuves du CNC 2000

• Mathématiques I
• Physique I
• Physique II

Mathématiques II : les autres années

• CNC 2025 : Autour de la trace d'une matrice
• CNC 2024 : Endomorphismes nilpotents et cycles
• CNC 2023 : Diagonalisabilité aléatoire, endomorphisme de R[X] et endomorphismes symétriques
• CNC 2022 : Suite de polynômes, orthonormalisation et matrices nilpotentes
• CNC 2021 : Puissances et commutant d'une matrice, racines carrées de matrices
• CNC 2019 : Matrices non scalaires semblables à une matrice de diagonale (0, Tr A) ou (0, 0, Tr A), en dimensions 2 et 3
• CNC 2017 : Exponentielle et logarithme de matrices, endomorphismes orthogonaux et distance à un hyperplan de polynômes
• CNC 2014 : Ellipse et projeté d'un foyer sur ses tangentes, sous-espaces de M_2(K) formés de matrices diagonalisables
• CNC 2013 : Matrices de Gram, équation X^2 + 3X = A et équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre quelconque
• CNC 2012 : Matrices et déterminants de Vandermonde : applications aux traces de puissances, aux matrices compagnons et aux matrices nilpotentes
• CNC 2011 : Transformation de Fourier discrète et son algorithme rapide, puis courbe (t^2, t^3) et tangentes perpendiculaires
• CNC 2010 : Endomorphismes de R^3 à valeur propre multiple : décomposition en sous-espaces caractéristiques, suites récurrentes matricielles et système différentiel linéaire
• CNC 2009 : Évaluation des polynômes en n + 1 points, base de Lagrange et approximation polynomiale au sens des moindres carrés
• CNC 2008 : Classes de similitude des matrices carrées d'ordre 2 : classes fermées, diagonalisabilité et borne inférieure de la norme
• CNC 2007 : Matrices de rang 1 et décomposition U tV ; théorème de d'Alembert-Gauss par deux méthodes analytiques
• CNC 2006 : Matrices vérifiant A^3 + A = 0, projecteurs orthogonaux de rang 1 et endomorphismes symétriques positifs associés à une application linéaire
• CNC 2005 : Racines carrées de matrices et d'endomorphismes, opérateur de différence sur les polynômes et sommes des puissances d'entiers
• CNC 2004 : Exponentielle d'une matrice d'ordre 2 et système différentiel ; matrices de trace nulle comme commutateurs en taille 3
• CNC 2003 : Polynômes de Legendre : endomorphisme différentiel, orthogonalité et méthode d'intégration de Gauss
• CNC 2002 : Matrices stochastiques : convergence des puissances et valeurs propres de module 1
• CNC 2001 : Matrices symétriques positives, matrices et déterminants de Gram

← Tous les sujets CNC TSI