Prepa HelpCNC 2012 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2012, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices et déterminants de Vandermonde : applications aux traces de puissances, aux matrices compagnons et aux matrices nilpotentes.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : expression d'un déterminant de Vandermonde. Calcul du déterminant de V_n(x_1,...,x_n) en voyant le déterminant comme une fonction polynomiale de sa dernière variable, d'où la formule du produit des (x_j - x_i) et l'inversibilité pour des scalaires distincts. Application à un déterminant 4 x 4 obtenu en dérivant une colonne.
- 2ème partie : une première application. Pour A de valeurs propres lambda_k, la matrice M = (Tr(A^(i+j-2))) s'écrit V tV par trigonalisation. On en tire une condition sur les lambda_k pour que M soit inversible et, dans le cas réel, pour que M soit définie positive.
- 3ème partie : application à la diagonalisation d'une matrice de Frobenius. Rang et polynôme caractéristique de la matrice compagnon de P, sous-espaces propres de dimension 1, diagonalisabilité si et seulement si P est scindé à racines simples. La matrice de Vandermonde des racines diagonalise A, ce qu'on applique à une matrice 3 x 3.
- 4ème partie : application aux matrices nilpotentes. Si A + lambda_i B est nilpotente pour n+1 scalaires distincts, on développe (A + lambda B)^n en puissances de lambda et chaque coefficient vérifie un système de Vandermonde. Ce système force A^n = B^n = 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Déterminants
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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