Prepa HelpCNC 2010 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2010, filière TSI, en 4 heures. Thème : Endomorphismes de R^3 à valeur propre multiple : décomposition en sous-espaces caractéristiques, suites récurrentes matricielles et système différentiel linéaire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie. Endomorphisme u en dimension 3 de polynôme caractéristique (lambda-X)^2 (mu-X) : on pose v = (u - lambda id)^2 et w = u - mu id, on montre que E = Ker v + Ker w en somme directe et on caractérise la diagonalisabilité par la dimension de E_lambda. Dans le cas non diagonalisable, on construit une base où la matrice est triangulaire, puis on traite un exemple avec calcul de B^n et A^n.
- 2ème partie. Suite X_(n+1) = M X_n de M_(3,1)(R) et suite scalaire v_n = tX_n V : si V est vecteur propre de la transposée de M, la suite (v_n) est géométrique. Application à trois suites récurrentes couplées, dont on obtient les termes généraux à partir de deux vecteurs propres indépendants de tM.
- 3ème partie. Matrice A d'ordre 3 ayant une seule valeur propre : sous-espace propre, non diagonalisabilité, construction d'une base où A devient triangulaire et calcul de A^n à l'aide d'une matrice nilpotente. Le système différentiel associé est ramené à X' = AX, puis à un système triangulaire résolu avec ses conditions initiales.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Suites récurrentes
- Équations différentielles linéaires
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