CNC 2010 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2010, filière TSI, en 4 heures. Thème : Famille de courbes y = x + lambda (x^2+1)/e^x, polynômes 1 + x + ... + x^(2n), intégrale de Gauss et transformée de Fourier de la gaussienne.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice I. Étude de la famille de fonctions f_lambda : passage d'une courbe unique par chaque point du plan, branches infinies, concavité et points d'inflexion, lieu des points à tangente horizontale. On montre que les tangentes en un même point d'abscisse a sont concourantes pour a différent de 1, puis on trace plusieurs courbes et on trouve l'équation différentielle dont les f_lambda sont les solutions.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Exercice II. Polynômes P_n(x) = 1 + x + ... + x^(2n) : racines complexes, convergence de la suite (P_n(x)), variations à l'aide d'une fonction auxiliaire et valeur minimale beta_n atteinte en un unique alpha_n de ]-1,0[. On étudie les suites (alpha_n) et (beta_n), avec un équivalent de alpha_n - alpha, puis la norme N(u) = sup |f_u(t)| associée aux fractions (x+ty)/P_1(t), son ensemble de niveau 1 et sa comparaison avec la norme euclidienne.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Nombres réels et suites numériques, Nombres complexes et trigonométrie
• Exercice III, A : intégrale de Gauss. Encadrement de e^(-u) - (1-u/n)^n par des inégalités de convexité, étude de t^4 e^(-t^2), puis passage à la limite dans l'intégrale de (1-t^2/n)^n sur [0, racine de n]. On en déduit la convergence et la valeur de l'intégrale de e^(-t^2) sur R+ et sur R.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Exercice III, B : calcul d'une transformée de Fourier. Intégrabilité de t -> e^(-ixt) e^(-t^2), dérivabilité de la transformée f^ par une intégrale à paramètre et équation différentielle y' + (x/2) y = 0. Sa résolution donne l'expression de f^.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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