CNC 2009 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière TSI. Thème : Intégrale de Gauss, intégrales de Wallis et approximation uniforme de |x| sur [-1, 1] par des polynômes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Fonction h(x, y) = racine(x^2 + y^2) + y^2 - 1 : continuité, classe C1 hors de l'origine, dérivées partielles en (0, 0). Recherche de points critiques sur un ouvert et extrema sur le disque de rayon 2.
  À revoir : Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles, Limites et continuité
• 1ère partie, A. Calcul de l'intégrale de Gauss. L'intégrale à paramètre psi(x) de e^(-x t^2)/(1 + t^2) sur [0, +inf[ est continue, C1 sur ]0, +inf[ et solution d'une équation différentielle du premier ordre. La résolution, avec l'intégrale de e^(-t)/racine(t), donne la valeur de l'intégrale de Gauss.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires
• 1ère partie, B. Étude d'une fonction. Étude de F(x), intégrale de e^(-t^2) sur [x, x^2] : dérivée, signe selon la position de x et x^2, limites. L'étude de g(x) = 2x e^(x^2 - x^4) - 1 fournit deux réels a et b, d'où le tableau de variations de F et sa courbe.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Limites et continuité, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 2ème partie, A. Quelques résultats préliminaires. À partir de ln x <= x - 1 et e^x >= x + 1, on encadre l'écart entre e^(-u) et (1 - u/n)^n sur [0, n] par u^2 e^(-u)/n.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• 2ème partie, B. Intégrales de Wallis. Relation de récurrence par intégration par parties, suite n I_n I_(n-1) constante, encadrement de I_n. Expression de I_(2n) par un coefficient binomial et équivalent de ce coefficient central divisé par 2^(2n).
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres réels et suites numériques, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• 2ème partie, C. Étude d'une suite de polynômes. Les polynômes P_n, somme alternée de coefficients binomiaux en X^(2k), s'écrivent comme une intégrale. Les résultats précédents permettent de comparer P_n(x) et |x|, et de majorer la borne supérieure de |P_n(t) - |t|| sur [-1, 1] par une quantité explicite en n.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles
• Limites et continuité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Équations différentielles linéaires
• Dérivabilité et convexité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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