Prepa HelpCNC 2006 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices vérifiant A^3 + A = 0, projecteurs orthogonaux de rang 1 et endomorphismes symétriques positifs associés à une application linéaire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice. Pour A réelle d'ordre 3, non nulle, telle que A^3 + A = 0 : décomposition de R^3 en somme directe de Ker u et Ker(u^2 + id), dimension 2 de ce dernier par un argument de déterminant. On construit une base où la matrice prend une forme réduite, à laquelle A est semblable.
- Problème, première partie. Projecteur orthogonal p sur une droite d'un espace euclidien : propriétés, matrice U tU, diagonalisation. Le groupe des f_alpha = id + alpha p, ses éléments orthogonaux, leur spectre et leur norme. Application aux matrices a I_n + b J_n.
- Problème, deuxième partie. Pour f linéaire entre deux espaces euclidiens, construction de l'application adjointe f~ ; f~ o f et f o f~ sont symétriques positifs, de même rang que f et de mêmes valeurs propres non nulles avec les mêmes multiplicités. Lecture sur la matrice G des produits scalaires des f(e_k) et application à un exemple explicite.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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