Prepa HelpCNC 2009 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière MP. Thème : Interpolation de Lagrange et approximation polynomiale au sens des moindres carrés.
À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : étude de l'application f_m. Application d'évaluation f_m de P_m dans R^(n+1) aux points x_0, ..., x_n : noyau, rang, injectivité et surjectivité selon m et n. Pour m = n, existence et unicité du polynôme interpolateur et base des polynômes de Lagrange L_i.
- 2ème partie : problème aux moindres carrés. Minimisation de ||b - Ax||^2 : les solutions sont celles des équations normales tA A u = tA b, et Au est la projection orthogonale de b sur Im(A). Égalité Ker A = Ker(tA A) et égalités de rang et d'image. Il existe toujours une solution, unique si et seulement si Ker A = {0}.
- 3ème partie : approximation polynomiale au sens des moindres carrés. Cas m >= n + 1 : l'interpolation donne un écart minimal nul et l'ensemble des polynômes optimaux. Cas m <= n : matrice de type Vandermonde de rang m + 1, unique polynôme optimal et écart minimal. Application numérique avec quatre points, résolue par la méthode du pivot de Gauss, avec tracé du graphe.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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