CNC 2010 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2010, filière MP, en 4 heures. Thème : Toute matrice complexe est unitairement semblable à une matrice dont les éléments diagonaux sont tous égaux.

Lire le sujet 5 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,2 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : un peu de géométrie. Équation réduite d'une ellipse, foyers, directrices et excentricité. L'image du cercle unité par z -> pz + q conj(z) est une ellipse de centre 0 si l'application est injective, un segment centré en 0 sinon. On en déduit, pour tout complexe non nul, l'existence d'un complexe de module 1 rendant réelle une certaine quantité.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie
• 2ème partie : matrices unitaires. Module du déterminant, forme générale des matrices unitaires d'ordre 2, cas des matrices diagonales, réelles et de permutation, caractérisation par les colonnes dans l'espace hermitien. On montre que U(n) est un sous-groupe de GL_n(C), puis une partie compacte de M_n(C).
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Structures algébriques usuelles, Nombres complexes et trigonométrie
• 3ème partie : démonstration du résultat annoncé. En dimension 2, une conjugaison unitaire bien paramétrée et le théorème des valeurs intermédiaires égalisent les deux termes diagonaux. En général, on minimise sur le compact U(n) l'écart maximal entre deux termes diagonaux de HAH*, et une matrice unitaire construite par blocs contredit un minimum non nul.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Limites et continuité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles
• Limites et continuité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

Les autres épreuves du CNC 2010

• Sciences industrielles
• Chimie
• Mathématiques I
• Physique I
• Physique II

Mathématiques II : les autres années

• CNC 2026 : L'endomorphisme M -> AM - MB de M_n(K)
• CNC 2025 : Autour de la trace
• CNC 2024 : Noyaux itérés, nilpotents et endomorphismes cycliques
• CNC 2023 : Distance d'une matrice au groupe orthogonal
• CNC 2022 : Morphismes de l'algèbre M_n(C)
• CNC 2021 : Racines carrées de matrices
• CNC 2019 : Déterminants de Cauchy et de Gram, distance à un sous-espace vectoriel et calcul d'un minimum
• CNC 2018 : Réduction d'une matrice à deux coefficients, familles de vecteurs équiangulaires et résultat d'Aupetit sur les familles (x, f(x), ..., f^n(x)) liées
• CNC 2017 : Normes sur M_n(K), suites et séries de matrices, exponentielle matricielle et applications
• CNC 2016 : Trace et formes linéaires sur M_n(R) : tout hyperplan contient une matrice inversible et une matrice orthogonale
• CNC 2015 : Groupe spécial orthogonal, connexité par arcs et non-continuité de la diagonalisation
• CNC 2014 : Matrices symétriques positives et sous-espaces de M_2(R) formés de matrices diagonalisables
• CNC 2012 : Théorème de Farahat et Ledermann : matrice de polynôme caractéristique imposé contenant une sous-matrice donnée
• CNC 2011 : Transformation de Fourier discrète et algorithme rapide ; théorème de Courant-Fischer et régularité des valeurs propres d'une application matricielle
• CNC 2009 : Interpolation de Lagrange et approximation polynomiale au sens des moindres carrés
• CNC 2008 : Classes de similitude des matrices carrées d'ordre 2 : propriétés topologiques et diagonalisabilité
• CNC 2007 : Diverses démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre (d'Alembert-Gauss)
• CNC 2006 : Endomorphismes de M_n(C) qui conservent le déterminant, le polynôme caractéristique ou le produit, et endomorphismes de S_n(R) qui stabilisent les matrices définies positives
• CNC 2005 : Racines carrées de matrices : équations X^2 = A et racine carrée d'une matrice symétrique positive
• CNC 2004 : Théorème de Courant-Fischer pour les matrices symétriques réelles et applications : entrelacement, critère des mineurs principaux, perturbation des valeurs propres
• CNC 2003 : Endomorphisme X -> AX + XB de M_n(K) : spectre, diagonalisabilité, cas symétrique défini positif et dimension du commutant
• CNC 2002 : Rayon spectral, convergence des puissances de matrices et équation A - M*AM = B, avec application aux polynômes dont les racines sont de module < 1
• CNC 2001 : Endomorphismes dont le polynôme minimal est de degré n-1 : réduction à une forme type et connexité par arcs de leur ensemble
• CNC 2000 : Crochet [u,v] sur L(E) et endomorphisme v -> [u,v] : image, trace, diagonalisabilité et nilpotence

← Tous les sujets CNC MP