CNC 2011 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière MP. Thème : Transformation de Fourier discrète et algorithme rapide ; théorème de Courant-Fischer et régularité des valeurs propres d'une application matricielle.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, 1ère partie : quelques propriétés de Phi_p. La transformation de Fourier discrète est un automorphisme de C^p, vu par les polynômes puis par sa matrice. Les sommes de puissances d'une racine p-ième de l'unité donnent une égalité de type Parseval, le produit de M par sa conjuguée et l'expression de M^(-1).
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Premier problème, 2ème partie : un peu d'algorithmique. Pour p = 2^n, on obtient la transformée de a à partir de celles des termes pairs et impairs, et on prouve cet algorithme. Les récurrences sur le nombre d'additions et de multiplications de la version récursive donnent son coût, comparé à celui de l'algorithme de Horner pour décider du plus rapide.
  À revoir : Complexité des algorithmes itératifs et récursifs, Récursivité, Tri par fusion et tri rapide, Nombres complexes et trigonométrie
• Deuxième problème, 1ère partie : théorème de Courant-Fischer. Pour une matrice symétrique réelle, le quotient de Rayleigh sur une base orthonormée de vecteurs propres encadre les valeurs propres rangées dans l'ordre croissant. Un argument de dimension sur l'intersection de deux sous-espaces donne la formule min-max.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Deuxième problème, 2ème partie : continuité et dérivabilité des valeurs propres d'une application matricielle. Par la norme subordonnée et le min-max, les valeurs propres d'une application continue à valeurs symétriques sont continues. Des exemples montrent qu'un vecteur propre continu peut ne pas exister. En taille 2, le cas symétrique C^1 admet des valeurs propres C^1, ce qui tombe en défaut sans symétrie.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Complexité des algorithmes itératifs et récursifs
• Récursivité
• Tri par fusion et tri rapide
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Dérivabilité et convexité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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