CNC 2003 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière MP, en 4 heures. Thème : Endomorphisme X -> AX + XB de M_n(K) : spectre, diagonalisabilité, cas symétrique défini positif et dimension du commutant.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie. Si A a un polynôme caractéristique scindé, le spectre de Phi_(A,B) est Sp(A) + Sp(B), les matrices V tW fournissant des vecteurs propres. Phi_(A,B) est diagonalisable si A et B le sont, et autoadjoint pour le produit scalaire Tr(tM N) si A et B sont symétriques réelles.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 2ème partie. Pour S symétrique définie positive, Phi_S est autoadjoint défini positif et conserve la symétrie, mais Phi_A(X) peut ne pas être défini positif, comme le montre un exemple d'ordre 2. Par diagonalisation de S et une intégrale sur ]0,1], on prouve que si Phi_S(X) est symétrique définie positive alors X l'est aussi.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 3ème partie. Pour B = -A, on calcule le noyau de Phi_(A,-A) lorsque A a n valeurs propres distinctes : sa dimension vaut n. La densité de ces matrices, la continuité de A -> Phi_(A,-A) et la semi-continuité du rang donnent, pour toute A de M_n(C), un noyau de dimension au moins n.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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