Prepa HelpCNC 2014 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2014, filière MP, en 4 heures. Thème : Matrices symétriques positives et sous-espaces de M_2(R) formés de matrices diagonalisables.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice. Pour A symétrique positive, on prouve que ses valeurs propres sont positives, l'écriture A = tM M, l'égalité des rangs et l'inégalité a_ij^2 <= a_ii a_jj. On caractérise le rang 1 par le cas d'égalité, puis par la positivité de la matrice des inverses des coefficients.
- Problème, 1ère partie : caractérisation des homothéties en dimension 2, application au commutant. Un endomorphisme tel que (x, f(x)) soit toujours liée est une homothétie. On en déduit le commutant en dimension 2 : tout L(E) pour une homothétie, Vect(id, f) sinon, et sa traduction matricielle.
- Problème, 2ème partie : diagonalisation simultanée dans M_2(K). Deux matrices diagonalisables qui commutent sont simultanément diagonalisables, ce qui s'étend aux familles et borne le nombre de matrices involutives commutant deux à deux. Un exemple réel montre que A + lambda B peut rester diagonalisable sans commutation, alors que sur C cette propriété entraîne AB = BA, par un calcul de discriminant.
- Problème, 3ème partie : étude des sous-espaces de M_2(K) formés de matrices diagonalisables. Description complexe par le commutant. Dans le cas réel, S_2(R) est un hyperplan formé de matrices diagonalisables, et tout tel hyperplan lui est conjugué, par réduction à des formes simples. Tout sous-espace formé de matrices diagonalisables est conjugué à un sous-espace de S_2(R).
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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