CNC 2012 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2012, filière MP, en 4 heures. Thème : Théorème de Farahat et Ledermann : matrice de polynôme caractéristique imposé contenant une sous-matrice donnée.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Première partie : expression d'un déterminant. Par un produit par blocs, on exprime le déterminant d'une matrice bordée à l'aide de la comatrice lorsque B est inversible. La continuité du déterminant et de la comatrice étend la formule au cas général, en remplaçant B par B - xI_n.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Deuxième partie : réunion de sous-espaces vectoriels. Un espace vectoriel sur R ou C réunion finie de sous-espaces est égal à l'un d'eux. On traite le cas de deux sous-espaces puis la récurrence, en exploitant l'infinité du corps et un principe des tiroirs.
  À revoir : Logique, ensembles et applications
• Troisième partie : à propos du polynôme minimal d'une matrice. Degré du polynôme minimal et liberté de (I_n, ..., A^(n-1)), polynôme minimal relatif à un vecteur par l'idéal associé. Avec la deuxième partie, on trouve un vecteur dont le polynôme relatif est le polynôme minimal. On en déduit une caractérisation des matrices dont le polynôme minimal est de degré n.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Structures algébriques usuelles
• Quatrième partie : démonstration du résultat proposé. On cherche A comme bordure de B. Le coefficient b est imposé par la trace. Une famille de polynômes U_p issue du polynôme caractéristique de B exprime la comatrice de B - xI, et le polynôme caractéristique de A se ramène à trouver u et v, dont l'existence vient de la troisième partie.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Logique, ensembles et applications
• Structures algébriques usuelles

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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