Prepa HelpCNC 2005 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière MP, en 4 heures. Thème : Racines carrées de matrices : équations X^2 = A et racine carrée d'une matrice symétrique positive.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Préliminaires. Solutions développables en série entière de (1+x)y' - alpha y = 0 et relations entre les coefficients du développement de (1+x)^(1/2). Pour un endomorphisme nilpotent d'indice p : famille libre (x0, u(x0), ..., u^(p-1)(x0)), p <= n et polynôme minimal.
- II. Étude d'équations du type X^2 = A dans M_n(R). Exemple d'une matrice 3 x 3 diagonalisable : on trouve toutes les solutions de X^2 = A par la commutation avec A. Résultats généraux : obstruction pour un nilpotent, racines carrées de I + u pour u nilpotent et, si u est d'indice n, leur description complète. Application à une matrice 4 x 4, puis existence d'une racine carrée pour un endomorphisme trigonalisable à valeurs propres strictement positives grâce à la décomposition d + nilpotent.
- III. Racine carrée d'une matrice symétrique positive. Caractérisation spectrale des matrices positives et définies positives, existence et unicité de la racine carrée dans S_n^+, qui est un polynôme en A. Applications à la trace et à la diagonalisabilité de AC, cas de deux matrices qui commutent. La racine carrée est continue sur S_n^+ et réalise un C^1-difféomorphisme de S_n^++ sur lui-même.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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