CNC 2004 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière MP, en 4 heures. Thème : Théorème de Courant-Fischer pour les matrices symétriques réelles et applications : entrelacement, critère des mineurs principaux, perturbation des valeurs propres.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie. Étude de M = U tU : rang 1, valeurs propres et sous-espaces propres, semblable orthogonalement à une matrice diagonale. Quotient de Rayleigh R_A, formule min-max de Courant-Fischer pour les valeurs propres de A symétrique, et image de R_A égale à [lambda_1, lambda_n] par continuité et connexité par arcs.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• 2ème partie. Valeurs propres d'une matrice définie positive et cas de l'ordre 2. Entrelacement des valeurs propres de A et de la matrice extraite A_(n-1), via la compression à un hyperplan, puis critère des déterminants principaux. Application aux matrices M(t) = (t^|i-j|) et (1/(1 + |i-j|)).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 3ème partie. Encadrement des valeurs propres d'une somme de matrices symétriques et stabilité pour la norme subordonnée, d'où le caractère ouvert des matrices définies positives dans S_n. On compare ensuite les spectres de A et de A + alpha U tU à l'aide d'une écriture par blocs dans une base orthonormée adaptée et de Courant-Fischer.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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