Prepa HelpCNC 2004 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière MP, en 4 heures. Thème : Solutions bornées de l'équation différentielle y' - y + f = 0 selon que f est bornée, intégrable ou périodique.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Exemples et résultats généraux. Résolution pour f exponentielle et forme générale des solutions. Une solution bornée au voisinage de +infini impose la valeur de la constante, d'où la solution candidate Y_f, unique solution bornée sur R quand f est bornée. Un dernier exemple utilise une suite double sommable et une intégration par parties pour u(x) = e^x sin(e^x).
- II. Cas d'une fonction intégrable. Si f est intégrable, Y_f est bornée, tend vers 0 à l'infini, est intégrable et de même intégrale que f, et g -> Y_g est un endomorphisme continu de (E, N_1) dont on calcule la norme. Si seule l'intégrale de f converge, une intégration par parties donne les mêmes limites et la même intégrale généralisée.
- III. Cas d'une fonction périodique. Pour f 2pi-périodique, Y_f est l'unique solution bornée, périodique et de classe C1. On calcule ses coefficients de Fourier et, en itérant f_(n+1) = Y_(f_n), on prouve la convergence uniforme de la suite (f_n) vers la constante c_0(f).
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Séries numériques et vectorielles
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Topologie des espaces vectoriels normés
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