Prepa HelpCNC 2009 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière MP. Thème : Équation aux dérivées partielles et approximation uniforme de la valeur absolue par des suites de polynômes, polynômes de Lebesgue.
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Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice. Pour g(x, y) = phi(y/x), calcul des dérivées partielles en fonction de phi. L'équation aux dérivées partielles se ramène à l'équation différentielle (1 + t^2)x'' + 2t x' = t, qu'on résout pour obtenir toutes les fonctions g solutions.
- 1ère partie : approximation par les polynômes de Lebesgue. Relation de Vandermonde étendue à un réel alpha, étude de suites de la forme b_(n+1)/b_n = 1 - alpha/n + w_n et équivalent des coefficients binomiaux d'indice 1/2. La série de (1 - z)^(1/2) converge normalement sur le disque unité fermé. On en déduit que les polynômes de Lebesgue L_n convergent uniformément vers |x| sur [-1, 1].
- 2ème partie : approximation par d'autres suites de polynômes plus simples. Intégrales de Wallis et équivalent de I_n. Étude des suites de fonctions u_n et v_n définies à partir de l'intégrale de (1 - (1 - t^2)^n)/t^2 : u_n(1) tend vers 1, u_n converge uniformément vers 1 sur [a, 1] et reste bornée. Les polynômes P_n et Q_n, et leurs variantes, convergent uniformément vers la valeur absolue sur [-1, 1].
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Séries numériques et vectorielles
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Nombres réels et suites numériques
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Dérivabilité et convexité
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