CNC 2011 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière MP. Thème : Dérivabilité en 1 de la fonction de Riemann, somme d'une série de Fourier lacunaire quadratique.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : formule sommatoire de Poisson. Pour g de classe C^1 à décroissance en 1/t^2, on définit la transformée de Fourier, on périodise g par une série de fonctions uniformément convergente et on calcule les coefficients de Fourier de la somme. La sommabilité des deux familles donne la formule de Poisson.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• 2ème partie : application de la formule sommatoire de Poisson. Pour la gaussienne, la transformée de Fourier est dérivable et vérifie une équation différentielle d'ordre 1, ce qui donne son expression. La formule de Poisson conduit à la relation (2) entre deux séries de type exp(-n^2 a), utile en 5ème partie.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles
• 3ème partie : un résultat général sur les fonctions holomorphes. Le demi-plan supérieur est un ouvert connexe par arcs. On y définit l'intégrale curviligne le long d'un segment, on étudie la relation de Chasles et, par la formule de Green-Riemann et les conditions de Cauchy-Riemann, on obtient une primitive holomorphe d'une fonction holomorphe.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Topologie des espaces vectoriels normés
• 4ème partie : étude d'un exemple. Logarithme principal et puissances complexes. Pour f_alpha(z) = z^alpha exp(-i/z), on calcule la limite d'une intégrale curviligne par convergence dominée, on obtient une primitive F_alpha et on majore |F_(-1/2)(z)| par une puissance de |z|.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres complexes et trigonométrie
• 5ème partie : démonstration de la propriété proposée. On étudie u(z), somme des exp(i n^2 pi z) : convergence, dérivation terme à terme, holomorphie et relation fonctionnelle issue de la formule (2) par un argument de zéros. Une série primitive v et des majorations en |z|^(3/2) donnent enfin la dérivabilité de q en 1 et la valeur de q'(1).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Dérivabilité et convexité, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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