CNC 2013 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2013, filière MP. Thème : Quelques aspects de la transformée de Laplace : abscisse de convergence, lemme de Littlewood et théorèmes taubériens.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Première partie : résultats préliminaires. Intégrabilité et convergence de e^(-zt) selon Re(z). Si l'intégrale converge en z0, elle converge pour Re(z) > Re(z0) et s'exprime par une intégration par parties. Un lemme de Littlewood établit la limite de x phi'(x) en 0+ par une formule de Taylor avec reste intégral.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Dérivabilité et convexité
• Deuxième partie : exemples et propriétés de la transformée de Laplace. Abscisse de convergence, continuité sur le demi-plan, classe C^1 en deux variables, classe C-infini sur la demi-droite réelle et limite nulle en +infini. Calcul de la transformée de (1 - cos t)/t^2. Un théorème de Cesàro est établi par les polynômes puis l'approximation uniforme des fonctions continues.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Topologie des espaces vectoriels normés, Limites et continuité
• Troisième partie : comportement au voisinage de l'origine. Si L(f)(0) existe, L(f) a cette limite en 0+, sans réciproque comme le montre un exemple. Sous l'hypothèse t f(t) -> 0 en +infini, des majorations d'intégrales donnent le théorème de Tauber.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Limites et continuité
• Quatrième partie : une généralisation du théorème de Tauber dans le cas réel. On affaiblit l'hypothèse en t f(t) bornée. Des moyennes successives f2 et f3 de t f(t), prolongées en 0 grâce au théorème de Rolle, décomposent L(f). Le lemme de Littlewood et le théorème de Cesàro donnent la limite de x f3(x), puis l'existence de L(f)(0).
  À revoir : Limites et continuité, Dérivabilité et convexité, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Limites et continuité

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