Prepa HelpCNC 2010 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2010, filière MP, en 4 heures. Thème : Étude de l'équation de la chaleur : principe du maximum, construction et unicité de la solution.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : résultats préliminaires. Matrice hessienne en un point d'un ouvert et laplacien. En un maximum local, la forme quadratique associée est négative et le laplacien négatif. Application aux fonctions harmoniques sur la boule unité : les extrema sont atteints sur la sphère.
- 2ème partie : construction d'une solution du problème. Prolongement impair et 2 pi-périodique de psi, coefficients de Fourier b_p et fonctions v_p(x, t) = b_p sin(px) e^(-p^2 t). Convergence normale de la série et de ses dérivées sur les domaines utiles, d'où une somme de classe C^2 qui vérifie l'équation de la chaleur et les conditions au bord et initiale.
- 3ème partie : unicité de la solution. Principe du maximum sur le rectangle : pour une fonction F continue, C^2 à l'intérieur, avec d^2F/dx^2 - dF/dt >= 0, le maximum est atteint sur le bord Gamma_R. La preuve utilise des extractions de suites et une perturbation F + x^2/p. On conclut à l'unicité en appliquant le résultat à F et -F.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Séries numériques et vectorielles
- Dérivabilité et convexité
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