Prepa HelpCNC 2002 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2002, filière MP, en 4 heures. Thème : Valeur moyenne, produit scalaire et algèbre de fonctions presque périodiques : séries de Fourier-Bohr et exemple cos x + cos(x racine(2)).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Valeur moyenne d'une fonction. Définition de mu(f) comme limite de la moyenne de f sur [-A,A]. Calcul pour les fonctions périodiques, les fonctions admettant des limites à l'infini et les fonctions intégrables, effet des translations et dilatations, parité, et contre-exemple d'une fonction bornée sans valeur moyenne.
- II. Un produit scalaire. Formule (f|g) = mu(fg) sur les sommes finies de cosinus et sinus de fréquences quelconques, puis extension aux limites uniformes et aux fonctions continues périodiques de périodes arbitraires. Sous-groupes additifs de R, monogènes ou denses, groupe des périodes d'une fonction, et théorème du mélange selon que le rapport des périodes est rationnel ou non.
- III. Une algèbre de fonctions presque-périodiques. Ensemble A des séries trigonométriques à amplitudes sommables : convergence, structure d'algèbre et prolongement du produit scalaire. On retrouve les coefficients du développement de Fourier-Bohr et on exprime (f|g) à l'aide de ces coefficients.
- IV. La fonction cos x + cos(x racine(2)). Suites d'entiers p_n et q_n issues de (3 + 2 racine(2))^n, équivalents et approximation rationnelle de racine(2). On montre que B dépasse 2 - epsilon une infinité de fois et qu'elle possède des quasi-périodes, ce qui illustre la définition de Bohr.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Limites et continuité
- Structures algébriques usuelles (spé)
- Nombres réels et suites numériques
- Séries numériques et vectorielles
- Structures algébriques usuelles (sup)
- Suites récurrentes
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