CNC 2001 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2001, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonctions de Bessel J_n : équation différentielle, comportement à l'infini, seconde solution, série de Fourier et transformée de Laplace de J_0.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : premières propriétés de J_n. Définition de J_n par une intégrale à paramètre, parité, classe C-infini et expression des dérivées. On vérifie que J_n résout l'équation de Bessel (E_n) et on s'interroge sur la dimension de l'espace de ses solutions sur R+*.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 2ème partie : étude du comportement de J_n au voisinage de +infini. Lemme de type Gronwall, variation des constantes pour y'' + y = -pf et équation intégrale vérifiée par les solutions. Avec I_n = racine(x) J_n, on en tire un développement asymptotique : J_n(x) s'écrit A_n sin(x + phi_n)/racine(x) plus un reste en O(x^(-3/2)).
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Limites et continuité
• 3ème partie : existence d'une solution N_n de (E_n) définie sur R+* et tendant vers +infini en 0. Calcul des dérivées de J_n en 0 et positivité près de 0. L'abaissement de l'ordre par y = J_n z mène à une équation du premier ordre, dont la résolution donne une solution qui tend vers +infini en 0. On en déduit l'ensemble des solutions bornées de (E_n).
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Dérivabilité et convexité
• 4ème partie : un développement en série de Fourier. Pour f 2-périodique égale à racine(1 - x^2) sur [-1,1[ et une fonction auxiliaire g, on relie les coefficients de Fourier des deux fonctions, on les exprime avec J_1 et on obtient a_n(f) = O(n^(-3/2)). Convergence uniforme et égalité de f avec la somme de sa série de Fourier.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 5ème partie : transformée de Laplace de J_0. Intégrabilité de J_0(t)e^(-pt) sur R+, majorations des restes et interversion des intégrales pour écrire F(p) comme intégrale double, puis comme intégrale sur [0,pi]. On aboutit à une expression simple de F.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Limites et continuité
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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