Prepa HelpCNC 2000 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2000, filière MP, en 4 heures. Thème : Opérateur intégral à noyau symétrique sur C([0,1]) : valeurs propres, famille orthonormée et développement des fonctions Tf.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I. Étude d'une fonction G définie par une série sur R+ : classe C1 et expression de xG'(x) + (3/2)G(x) à l'aide de fonctions usuelles.
- Partie II. L'application T : f -> Tf, de noyau K(x,t), est un endomorphisme de C([0,1]) non surjectif. On montre que F = Tf est l'unique solution de y'' - (2/x^2)y = -3f sous deux conditions aux bords, puis on traduit la notion de valeur propre en problème différentiel avec conditions aux limites.
- Partie III. Résolution de x^2 y'' + (3x^2/lambda - 2)y = 0 : solution développable en série entière, exprimée avec G, abaissement de l'ordre pour une seconde solution et description de l'espace des solutions. On en déduit les valeurs propres non nulles de T et leurs vecteurs propres.
- Partie IV. T est symétrique pour le produit scalaire intégral et les fonctions phi_k forment une famille orthonormée. Une série de Fourier donne la somme des 1/k^4 = pi^4/90, qu'on compare à l'intégrale double de K^2 ; la projection orthogonale du noyau conduit à la convergence en moyenne quadratique du développement de Tf.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
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