Prepa HelpCNC 2006 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière MP, en 4 heures. Thème : Opérateur de moyenne f -> (1/x) intégrale de 0 à x de f : valeurs propres et norme sur les fonctions de carré intégrable.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Première partie. Calculs préparatoires : intégrale de Frullani I(a, b) par une fonction définie par une intégrale à paramètre, puis valeur de l'intégrale de ln(1+t)/t sur ]0, 1] par série entière et convergence uniforme.
- Deuxième partie. Étude de l'opérateur de moyenne sur les fonctions continues de R+ dans R : comportement en l'infini, lien avec l'intégrabilité, endomorphisme injectif non surjectif. La résolution de l'équation x f' + (lambda - 1) f = 0 donne l'ensemble des valeurs propres et les sous-espaces propres.
- Troisième partie. Produit scalaire sur E_2, espace des fonctions continues de carré intégrable. Une intégration par parties et l'inégalité de Cauchy-Schwarz montrent que l'opérateur induit est continu, de norme au plus 2. On établit une relation entre le carré scalaire de l'image et son produit scalaire avec f, et on exclut l'égalité dans la majoration pour f non nulle.
- Quatrième partie. Calculs sur e^(-ax) et 1/(x+1), minoration stricte par sqrt 2 du quotient pour f positive, décroissante et non nulle. La continuité du quotient ||image de f|| / ||f|| montre que ses valeurs forment un intervalle de ]0, 2[. Des familles de fonctions tests donnent la borne supérieure 2 et la borne inférieure 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Équations différentielles linéaires
- Limites et continuité
- Topologie des espaces vectoriels normés
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