Prepa HelpCNC 2012 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2012, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonctions de Bessel et équation de Kepler.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : une fonction définie par une intégrale. Pour 2 lambda > -1, on définit f_lambda par une intégrale à paramètre sur ]0, pi[. On montre qu'elle est réelle et de classe C-infini, on exprime ses dérivées, puis une intégration par parties donne l'équation différentielle (F_lambda).
- 2ème partie : une formule d'Euler. Propriétés de la fonction Gamma : relation fonctionnelle, valeurs entières, changement de variable. Un encadrement d'intégrales doubles sur un carré par des quarts de disque, en polaires, donne la formule reliant Gamma(p)Gamma(q) à Gamma(p+q), d'où Gamma(n + 1/2).
- 3ème partie : fonctions de Bessel. On définit J_lambda à partir de f_lambda, on calcule J_(1/2), on établit les relations de récurrence et l'équation différentielle de Bessel. Le développement en série et un équivalent en 0 suivent, puis une autre expression intégrale de J_n pour n entier.
- 4ème partie : application à l'étude de l'équation de Kepler. L'équation v = t + e sin v définit v de façon unique grâce à un C-infini-difféomorphisme, et le théorème des fonctions implicites donne sa régularité. On étudie ses dérivées partielles et une série entière en e, puis on obtient v - t comme série de Fourier dont les coefficients font intervenir J_n, et la somme d'une série par Parseval.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Équations différentielles linéaires
- Séries numériques et vectorielles
- Dérivabilité et convexité
- Limites et continuité
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