Prepa HelpCNC 2003 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière MP, en 4 heures. Thème : Transformée de Fourier sur R : calcul d'un exemple, propriétés et formule d'inversion.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Étude d'un exemple. Étude de la fonction phi(x) = intégrale de x à +infini de e^(-t)/t : encadrement, dérivée, comportement en 0 avec une constante C et développement en série. On calcule la transformée de Fourier de psi = phi(|x|)/2, de classe C-infini, et on obtient arctan(x)/x.
- II. Quelques propriétés de la transformée de Fourier d'une fonction. Existence, caractère borné et continuité de la transformée d'une fonction intégrable, linéarité, effet d'une translation, d'une dilatation et d'une modulation, cas pair et impair. Transformée de la dérivée, limite nulle à l'infini et dérivation de la transformée.
- III. Une formule d'inversion. La transformée de la gaussienne est obtenue par une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Le théorème de convergence dominée et des interversions d'intégrales sur des pavés, avec un facteur gaussien régularisant, établissent la formule d'inversion pour f continue, bornée, intégrable et de transformée intégrable.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Séries numériques et vectorielles
- Limites et continuité
- Équations différentielles linéaires
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