CNC 2014 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2014, filière MP, en 4 heures. Thème : Extremums d'une fonction de deux variables ; unimodularité des zéros d'un polynôme auto-inverse.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Étude d'une fonction F de deux variables sur [0,1]^2 : inégalité préliminaire, continuité, bornes atteintes sur le compact, borne inférieure. La classe C^1 et l'unique point critique dans l'ouvert donnent la borne supérieure.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Limites et continuité
• Problème, 1ère partie : résultats préliminaires. Le développement en série de 1/(1 - z) donne la valeur de l'intégrale curviligne de 1/(z - p) sur le cercle unité selon la position de p. On établit ensuite la stricte convexité du disque unité fermé, appliquée aux combinaisons convexes de points du cercle.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème, 2ème partie : deux résultats de localisation des racines d'un polynôme. Par la décomposition de P'/P, toute racine de P' est barycentre à coefficients positifs des racines de P. Une intégrale de P'/P sur le cercle unité compte les racines de module strictement inférieur à 1.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Problème, 3ème partie : une condition suffisante d'unimodularité des zéros d'un polynôme auto-inverse. Définition et propriétés des polynômes auto-inverses. À partir de Q à racines de module au plus 1, on forme R de la forme (2). Une intégrale continue à valeurs entières, donc constante, localise les racines de R_lambda, puis un passage à la limite par compacité montre que celles de R sont de module 1.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Topologie des espaces vectoriels normés
• Problème, 4ème partie : quelques applications. Les racines de S_n, somme des (k - n)X^k, sont de module 1, grâce aux racines de l'unité et au résultat de barycentre. On en tire une condition nécessaire et suffisante d'unimodularité portant sur P', puis des conditions plus maniables sur les coefficients.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Limites et continuité
• Séries numériques et vectorielles
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Nombres complexes et trigonométrie

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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