CNC 2008 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonctions vérifiant la propriété (H) : holomorphie, analyticité, formule de Gutzmer, théorème de Liouville et prolongement analytique.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : résultats préliminaires. Identification de C et R^2 par un homéomorphisme, demi-plan Re(z) > 0 ouvert et connexe par arcs. Pour une série entière non nulle, factorisation par z^p et zéros isolés en 0.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• 2ème partie : la propriété (H). Définition par la relation df/dy = i df/dx avec f de classe C^1 et exemples : exponentielle, logarithme sur le demi-plan, polynômes, contre-exemple du conjugué. La propriété vaut pour une fonction définie par une intégrale à paramètre et pour la somme d'une série entière ; elle est stable par somme, produit, composition et inverse. Interprétation géométrique de la jacobienne et calcul du laplacien.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Séries numériques et vectorielles, Topologie des espaces vectoriels normés
• 3ème partie : analyticité des applications vérifiant la propriété (H). Autour de z0, la fonction theta -> f(z0 + r e^(i theta)) est développée en série de Fourier et ses coefficients c_n(r) vérifient une équation différentielle. Les h_n(r) = c_n(r)/r^n sont constantes, nulles pour n < 0, d'où le développement en série entière de f sur le disque. La formule de Parseval donne la formule de Gutzmer.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• 4ème partie : propriétés fondamentales des applications vérifiant la propriété (H). Théorème de Liouville par la formule de Gutzmer, et application au théorème de d'Alembert-Gauss. Principe du prolongement analytique sur un ouvert connexe par arcs, à l'aide d'un chemin et des zéros isolés. Principe du maximum et calcul de l'intégrale gaussienne complexe de e^(-z t^2 + i v t) par prolongement.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Nombres complexes et trigonométrie, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Nombres complexes et trigonométrie
• Séries numériques et vectorielles

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