CNC 2008 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière MP, en 4 heures. Thème : Classes de similitude des matrices carrées d'ordre 2 : propriétés topologiques et diagonalisabilité.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Résultats préliminaires. Classe de similitude d'une matrice scalaire et matrices dont la classe est un singleton. Norme de Schur ||A||_S et invariance par conjugaison unitaire. Une classe bornée ou compacte n'existe que pour une matrice scalaire. Continuité et invariance de la trace et du déterminant.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• II. Condition pour qu'une classe de similitude de M_2(K) soit fermée. Formes réduites selon le spectre. La classe est fermée si la matrice est scalaire ou à deux valeurs propres distinctes, et non fermée pour une matrice non diagonalisable à valeur propre double. Dans M_2(C), fermée équivaut à diagonalisable ; dans M_2(R), on ajoute le cas sans valeur propre réelle, traité par une matrice de carré -I_2.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• III. Une caractérisation des matrices diagonalisables de M_2(K). Trigonalisation en base orthonormée par le procédé de Schmidt. La borne inférieure de ||PAP^(-1)||_S vaut (|lambda|^2 + |mu|^2)^(1/2), et elle est atteinte exactement quand A est diagonalisable. Application : une classe fermée impose la diagonalisabilité, par une sous-suite convergente.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• IV. Cas d'une matrice réelle n'ayant aucune valeur propre réelle. Construction d'une base orthonormée adaptée à la matrice de carré -I_2 et réduction orthogonale. On calcule la borne inférieure, liée à 2 det M, on montre qu'elle est atteinte et on caractérise les matrices où elle l'est. Conclusion : pour une matrice réelle, la borne est atteinte si et seulement si la classe est fermée.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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