Prepa HelpCNC 2007 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2007, filière MP, en 4 heures. Thème : Diverses démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre (d'Alembert-Gauss).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Première partie, A : résultats préliminaires. Équivalent de |P(z)| quand |z| tend vers l'infini, encadrement hors d'un disque, puis existence d'un minimum de |P| sur C par compacité d'un disque fermé bien choisi.
- Première partie, B : première méthode analytique. Pour un polynôme Q_1 = 1 + bX^k + X^k Q, on trouve un point où le module passe sous 1. On en déduit l'inégalité d'Argand : tout point où P ne s'annule pas peut être amélioré, donc le minimum de |P| est un zéro.
- Première partie, C : deuxième méthode analytique. Par l'absurde, avec la fonction (r, theta) -> 1/P(r e^(i theta)) : ses dérivées partielles et la dérivation de F(r), intégrale sur [0, 2 pi], donnent F constante alors qu'elle tend vers 0 en l'infini.
- Deuxième partie, A : premiers résultats. Racine réelle d'un polynôme réel de degré impair, valeur propre d'un endomorphisme réel en dimension impaire. Stabilité de Ker et Im pour deux endomorphismes qui commutent et, par récurrence sur la dimension, vecteur propre commun en dimension impaire réelle.
- Deuxième partie, B : endomorphismes d'un C-espace vectoriel de dimension impaire. L'espace réel F des matrices hermitiennes, de dimension n^2 impaire, porte deux endomorphismes u et v qui commutent. Leur vecteur propre commun fournit une valeur propre de A. On en tire la valeur propre et le vecteur propre commun en dimension complexe impaire.
- Deuxième partie, C : étude du cas général. Récurrence sur k pour la dimension 2^k p : les matrices antisymétriques portent u(M) = AM + M tA et v(M) = AM tA, dont le vecteur propre commun conduit à une équation du second degré et à une valeur propre de A. L'assertion sur deux endomorphismes qui commutent suit par passage à Ker et Im.
- Deuxième partie, D : retour au théorème fondamental de l'algèbre. Polynôme caractéristique de la matrice compagnon d'un polynôme unitaire, d'où une racine complexe pour tout polynôme non constant et la conclusion.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Nombres complexes et trigonométrie
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Limites et continuité
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