CNC 2006 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière MP, en 4 heures. Thème : Endomorphismes de M_n(C) qui conservent le déterminant, le polynôme caractéristique ou le produit, et endomorphismes de S_n(R) qui stabilisent les matrices définies positives.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Préliminaires. Calculs avec la base canonique E_(i,j) : les matrices qui commutent à toutes les autres sont scalaires, une matrice dont le produit par toute matrice est de trace nulle est nulle, et Tr(AB) = Tr(BA). Les applications M -> PMQ et M -> P tM Q conservent le rang.
• Première partie. Un endomorphisme de M_n(C) qui conserve le déterminant conserve le rang, grâce à une étude de degré du déterminant de lambda M + N, et il est de la forme u_(P,Q) ou v_(P,Q). S'il conserve le polynôme caractéristique, on obtient de plus Q = P^(-1).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Deuxième partie. Application de M_n(C) telle que phi(A)phi(B) et AB aient le même polynôme caractéristique : la trace montre qu'elle est linéaire et bijective. L'étude de la matrice G d'image I_n, diagonale de carré I_n puis scalaire, conduit à la forme ± u_(P,P^(-1)) ou ± v_(P,P^(-1)) et à la réciproque.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Troisième partie. Endomorphismes de S_n(R) qui stabilisent S_n^++(R). Théorème spectral, caractérisation par les valeurs propres, surjectivité et bijectivité, S_n^+(R) fermé et conservé. Pour n = 2 et phi(I_2) = I_2, on montre par un argument de rang 1 que phi conserve le spectre.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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