Prepa HelpCNC 2000 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2000, filière MP, en 4 heures. Thème : Crochet [u,v] sur L(E) et endomorphisme v -> [u,v] : image, trace, diagonalisabilité et nilpotence.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie. Propriétés de Phi_u : v -> [u,v], commutant d'un endomorphisme non homothétique, image contenue dans l'hyperplan T des endomorphismes de trace nulle, nilpotence héritée de u par une formule du binôme. Une récurrence sur n montre que l'image du crochet est exactement T, puis on calcule Tr(Phi_u) sur la base des u_(i,j).
- 2ème partie. Si u est diagonalisable, Phi_u l'est aussi : spectre, noyau décrit par la stabilité des sous-espaces propres, rang, cas de n valeurs propres distinctes. Étude complète de la dimension 2 selon le corps, puis réciproque générale : Phi_u diagonalisable entraîne u diagonalisable, via une surjection de L(E) sur E.
- 3ème partie. Un vecteur propre v de Phi_u pour une valeur propre non nulle est nilpotent. Si dim Ker v = 1, v est d'indice n, ce qui fournit une base (e, v(e), ..., v^(n-1)(e)). On décrit le sous-espace affine des w tels que wv - vw soit proportionnel à v, puis la forme de la matrice de u et la dimension de son sous-espace propre.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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