Prepa HelpCNC 2002 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2002, filière MP, en 4 heures. Thème : Rayon spectral, convergence des puissances de matrices et équation A - M*AM = B, avec application aux polynômes dont les racines sont de module < 1.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie. Normes N_infini et N sur M_n(C), sous-multiplicativité de la première et convergence coefficient par coefficient. Étude de la suite (M^k) pour M diagonalisable, puis pour M d'ordre 2 à partir d'une forme triangulaire. Si M^k tend vers 0 alors rho(M) < 1, et la réciproque est admise.
- 2ème partie. Matrices symétriques réelles positives et définies positives, matrices UU*, diagonalisation d'un exemple d'ordre 3 et décomposition spectrale de R comme somme des lambda_i E_i E_i*. Caractérisation des matrices positives comme sommes de n matrices UU*, et équivalence entre RX = 0 et X*RX = 0.
- 3ème partie. Pour rho(M) < 1, l'application Z -> Z - M*ZM est bijective et sa solution A est la somme de la série des (M*)^p B M^p. En réel, R est définie positive si et seulement si (U, M*U, ..., (M*)^(n-1)U) est une base. Application à la matrice compagnon C d'un polynôme à racines de module < 1 : on décrit les matrices Delta telles que Delta - C*Delta C soit symétrique positive à l'aide de polynômes en C.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Séries numériques et vectorielles
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