Prepa HelpCNC 2017 MP Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière MP, en 4 heures. Thème : Normes sur M_n(K), suites et séries de matrices, exponentielle matricielle et applications.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : étude de quelques normes sur M_n(K). Autour de la norme infinie, on prouve par compacité de la sphère que toutes les normes sont équivalentes, puis qu'une norme devient sous-multiplicative après multiplication par une constante. La norme subordonnée à une norme de M_(n,1)(K) est étudiée.
- Partie II : suites de matrices. La convergence d'une suite de matrices équivaut à celle des coefficients. On calcule la limite de (A_m)^m pour une matrice proche de l'identité, écrite comme une rotation multipliée par un scalaire.
- Partie III : séries de matrices. Convergence coefficient par coefficient et convergence absolue. Si la série géométrique de A converge, I - A est inversible d'inverse sa somme, avec un exemple numérique 2 x 2.
- Partie IV : exponentielle d'une matrice. Définition par une série, cas S^2 = I_n, exp(A + B) pour des matrices qui commutent, inversibilité, cas diagonal, conjugaison et triangulaire. On en déduit det(exp A) = e^(Tr A) et on calcule exp(tA) sur un exemple.
- Partie V : application aux systèmes différentiels linéaires. Dérivée de t -> exp(tM) et formule de variation de la constante pour Y' = AY + B. On donne la forme générale des solutions homogènes si A est diagonalisable, puis on résout un système 3 x 3 avec conditions initiales.
- Partie VI : toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur C. Matrices nilpotentes, exponentielle de lambda I_n + N. Le caractère borné sur R des solutions de X' = AX équivaut, par décomposition en blocs, à A diagonalisable à valeurs propres imaginaires pures. On l'applique aux matrices antisymétriques réelles.
- Partie VII : quelques transformations induites par l'exponentielle matricielle. exp réalise une bijection des matrices nilpotentes sur les matrices unipotentes, de réciproque ln, par des développements limités de polynômes. On étudie ensuite exp de V vers W, surjective sans être injective, et la surjectivité des symétriques vers les symétriques définies positives.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
- Équations différentielles linéaires
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