CNC 2001 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2001, filière MP, en 4 heures. Thème : Endomorphismes dont le polynôme minimal est de degré n-1 : réduction à une forme type et connexité par arcs de leur ensemble.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : résultats préliminaires. Dimension du noyau de (u - lambda Id)^p égale à la multiplicité de lambda, par le lemme des noyaux et les endomorphismes induits. Polynôme minimal ponctuel pi_(x,u), diviseur du polynôme minimal, ensemble fini de ces polynômes et existence d'un vecteur e tel que pi_(e,u) = pi_u.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Structures algébriques usuelles
• 2ème partie : étude de C = {u dans L(E), deg(pi_u) = n-1}. Cas nilpotent : noyaux itérés d'un v d'indice n-1, dimensions de Ker v^k, supplémentaire stable et matrice réduite J. Cas général : une matrice M de type compagnon complétée par une valeur propre appartient à C, et tout élément de C s'y ramène dans une base convenable, avec caractérisation matricielle et choix de P de déterminant positif dans le cas réel.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 3ème partie. Pour la norme euclidienne sur M_n(K) : continuité du déterminant, G(K) ouvert, inverse continue grâce à une série géométrique de matrices. Connexité par arcs de GL_n(C) par un chemin évitant les racines de det(xB + (1-x)A), puis de l'orbite de J, et enfin de C(K) à l'aide d'une déformation explicite de la forme type.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Séries numériques et vectorielles, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Structures algébriques usuelles
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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