Prepa HelpCNC 2005 MP Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière MP, en 4 heures. Thème : Séries trigonométriques : continuité de la somme, séries impaires à coefficients décroissants.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Résultats préliminaires. Formule de Taylor-Young et limite du quotient symétrique (f(x+h)+f(x-h)-2f(x))/h^2 vers f''(x). Lemme de convergence : si b_n sin(nx) tend simplement vers 0 sur R, alors la suite (b_n) tend vers 0, d'abord pour (b_n) bornée puis dans le cas général.
- II. Série trigonométrique dont la somme est continue. On suppose la somme f continue et on introduit la série des u_n/n^2, normalement convergente, de somme -F. La fonction sin^2(t)/t^2 permet de montrer que le quotient symétrique de F tend vers f, d'où F de classe C^2. On en déduit que a_n et b_n sont les coefficients de Fourier de f.
- III. Séries trigonométriques impaires. Pour une somme continue de série en b_n sin(nx), étude de l'équation -y'' + y = f et de son unique solution nulle en 0 et pi. Si (b_n) décroît vers 0 : calcul des sommes de cosinus et de sinus, transformation d'Abel et convergence simple, exemple b_n = 1/n et somme discontinue. Si la somme est continue, sa primitive G donne la convergence de la série des b_n/n et n b_n -> 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Dérivabilité et convexité
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
- Nombres complexes et trigonométrie
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.